Ángulos de Euler — en Español

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?Los ?ngulos de Euler son tres ?ngulos introducidos por Leonhard Euler para describir la orientaci?n (geometr?a)|?orientaci?n de un cuerpo r?gido.^[1] ?Para describir tal orientaci?n en dimensi?n|?se requieren espacio eucl?deo tridimensional tres par?metros. Puede darse de varias maneras, ?ngulos de Euler, siendo uno de ellos; ver gr?ficos sobre SO(3) para otros.

??ngulos de Euler tambi?n representan tres rotaciones compuestas que mover un marco de referencia a un determinado fotograma referido. Esto es equivalente a decir que cualquier orientaci?n puede lograrse por componer tres rotaciones elementales (rotaciones alrededor de un solo eje) y tambi?n equivalente a decir que cualquier matriz de rotaci?n puede ser la descomposici?n de la matriz|?descomponer como producto de tres matrices de rotaci?n elemental.

?Sin considerar las posibilidades de diferentes signos para los ?ngulos o mover el marco de referencia, hay #Conventions|?doce convenios diferentes dividieron en dos grupos. Uno de ellos se llama "adecuados" Euler ?ngulos y los otros Tait???Bryan. A veces se utilizan "?ngulos de Euler" para todos ellos.

?Definici?n

??ngulos de Euler son un medio que representa la orientaci?n espacial de cualquier base (?lgebra lineal)|?marco (sistema de coordenadas) como una composici?n de rotaciones de un marco de referencia (sistema de coordenadas). A continuaci?n, el sistema fijo se denota en min?sculas (x, y, z) y el sistema de rotaci?n se denota en may?sculas (X, Y, Z).

?La definici?n es est?tica. Dado un marco de referencia y el cuya orientaci?n que queremos describir, primero definimos la l?nea de nodos (N) como la intersecci?n de la xy y la XY coordinar planos (en otras palabras, la l?nea de nodos es la l?nea perpendicular al eje de z y z). A continuaci?n, definimos sus ?ngulos de Euler como:

• ??? (o <math>?\varphi</math>?) es el ?ngulo entre el eje x y la l?nea de nodos.
• ??? (o <math>?\theta</math>?) es el ?ngulo entre el eje z y el eje Z.
• ??? (o <math>?\psi</math>?) es el ?ngulo entre la l?nea de los nodos y el eje X.

??ngulos de Euler entre dos cuadros se definen s?lo si ambos cuadros tienen la misma orientaci?n (matem?ticas)|?Si. ?ngulos de Euler son s?lo uno de los gr?ficos SO(3)|?varias formas de especificar la orientaci?n relativa de estos dos sistemas de coordenadas. Diferentes autores pueden utilizar conjuntos de ?ngulos diferentes para describir estas orientaciones o nombres diferentes para los ?ngulos de la mismos, llevando a #Conventions de los ?ngulos de Euler|?diferentes convenciones. Por lo tanto, cualquier discusi?n que emplea ?ngulos de Euler siempre deber?a estar precedida de su definici?n.^[2]

?Salvo indicaci?n contraria, este art?culo utilizar? la Convenci?n descrita en el plano adyacente, Euler ?ngulos ?ngulos #Euler como composici?n de rotaciones intr?nsecas|?normalmente llamado Z-X???-Z??????.

 ?Rangos y signos de ?ngulos

?Normalmente, se definen los ?ngulos de tal manera que son positivos cuando gira en sentido antihorario (c?mo ellos giran depende de qu? lado del plano de rotaci?n observamos. El lado positivo ser? del eje de rotaci?n positivo)

?Acerca de los intervalos:

• ??? y ?? gama son definidos aritm?tica Modular|?M?dulo 2?? radianes. Un intervalo v?lido podr?a ser (???, ??].
• ?Gama ?? cubre radianes ?? (pero no puede decirse que m?dulo ??). Por ejemplo podr?a ser [?0, ??] ?o [????/2,???/2].

?Los ?ngulos ??, ?? y ?? se determinan un?vocamente excepto en el caso singular que el xy y la XY planos son id?ntico, el eje z y el eje z con el mismo o en direcciones opuestas. De hecho, si el eje z y el eje z est?n el mismo, ?? = ?0 y s?lo (?? + ??) es ?nicamente definido (no los valores individuales) y, del mismo modo, si el eje z y el eje z son opuestas, ?? = ??? y ?nica (?? ? ??) es la ?nica definida (no los valores individuales). Estas ambig?edades son conocidos como Suspensi?n card?n bloqueo de aplicaciones.

 ?Convenciones

?Hay dos tipos principales de convenciones llamados "adecuados" ?ngulos de Euler y Tait???Bryan, despu?s de Peter Guthrie Tait y George H. Bryan, tambi?n conocida como ?ngulos n?uticas o Cardan, Gerolamo Cardano|?Cardan.

?Su diferencia est?tico es la definici?n de la l?nea de nodos. En el primer caso se utilizan dos planos hom?logas (planos superpuestos cuando los ?ngulos son cero). En la segunda, que son reemplazados por aviones no hom?logas (perpendiculares cuando los ?ngulos son cero).

?Sin embargo, es inusual utilizar convenciones est?ticas cuando se habla de ?ngulos de Euler. Euler ?ngulos ?ngulos #Euler como composici?n de rotaciones intr?nsecas|?equivalencia de rotaciones intr?nseca o Euler ?ngulos ?ngulos #Euler como composici?n de rotaciones extr?nsecas|?equivalencia de rotaciones extr?nseca se utilizan en su lugar. De acuerdo con estas equivalencias, ?ngulos de Euler adecuados son equivalentes a tres rotaciones combinados repitiendo exactamente uno de los ejes. Tait???Bryan ?ngulos son equivalentes a tres rotaciones compuestas en diferentes ejes.

?Ninguna informaci?n se pierde cuando se utiliza la equivalencia de rotaci?n porque los par?metros est?ticos pueden calcularse desde el nombre de la Convenci?n. Por ejemplo, dada la Convenci?n X-Y???-Z??????, la primera rotaci?n es perpendicular a la "x" y la tercera a la "Z". Por lo tanto, los planos son la yz y el XY, y la l?nea de nodos es la intersecci?n de estas dos.

?Correcto ?ngulos de Euler

?Existen seis posibilidades de elegir al adecuado Euler ?ngulos. Utilizando la definici?n est?tica se corresponden con las tres posibles combinaciones homog?neas de aviones (XY, XZ y YZ) con las dos opciones posibles para medir los ?ngulos de (por ejemplo, dada la l?nea de nodos por los planos XY, se puede tomar N X o Y N como primer ?ngulo). Por lo tanto las posibilidades de seis.

?Hay un Euler ?ngulos de #Euler de ?ngulos como composici?n de rotaciones intr?nsecas|?equivalencia de rotaciones intr?nseca que normalmente se utiliza para nombrar los posibles convenios de ?ngulos de Euler. Si nos dicen que reciben algunos ?ngulos utilizando la Convenci?n Z-X???-Z??????, esto significa que son equivalentes a tres rotaciones intr?nsecas concatenados alrededor de algunos ejes de movimiento Z, X??? y Z?????? en ese orden. Esta composici?n es no conmutativa. Tiene que aplicarse de tal manera que en un principio uno de los ejes intr?nseca se mueve junto con la l?nea de nodos. La anterior Convenci?n diagrama generalmente se denomina de esta manera.

?Sin embargo, a veces el Euler ?ngulos ?ngulos #Euler como composici?n de rotaciones extr?nsecas|?equivalencia de rotaciones extr?nseca podr?a ser utilizada. Si este es el caso, los ?ngulos determinados son hacia atr?s, lo que significa que el primer ?ngulo es la rotaci?n intr?nseca y la ?ltima la precesi?n. El nombre de la Convenci?n ser?a indistinguible de la anterior, incluso si el orden de los ?ngulos es lo contrario, ser algo como z-x-z (aqu? se utilizan min?sculas para observaci?n composici?n extr?nseca).

?Para especificar que la orden dada significa composici?n intr?nseca, a veces se utiliza una notaci?n similar, pero declarando expl?citamente el eje de rotaci?n son diferentes para cada paso, como en Z-X???-Z??????. Esta notaci?n Z-X-Z significar?a composici?n extr?nseca.

??ngulos Tait???Bryan

?Tambi?n hay seis combinaciones de Tait???Bryan. Vienen los dos planos no homog?neos posibles que existen cuando uno es dado (dado XY, hay dos no homog?neo, XZ e YZ). Los tres planos posibles en el marco de referencia multiplican por las dos opciones de rendimiento de cada uno los seis posibles convenios.

?Hay seis combinaciones posibles de este tipo, y todos ellos se comportan de forma id?ntica. Utilizando los ?ngulos de #Euler de ?ngulos de Euler como composici?n de rotaciones intr?nsecas|?equivalencia de rotaciones intr?nseca, Tait???Bryan ?ngulos corresponden con las tres rotaciones con un eje diferente. Z???X???Y por ejemplo. Tambi?n hay seis posibilidades de este tipo. La imagen adjunta muestra la Convenci?n ZXY. Los otros cinco convenios adecuados se obtienen seleccionando distintos ejes de rotaci?n.

?Estos tres ?ngulos se denominan normalmente "Partida, elevaci?n y Banco", o "Yaw, Pitch and Roll". El segundo mandato debe utilizarse con sumo cuidado porque tambi?n son los nombres de los ejes principales de tres aviones.

?Para Tait???Bryan los ?ngulos, tambi?n convenciones intr?nsecas y extr?nsecas pueden utilizarse, dando por tanto dos significados para cada nombre de Convenci?n. Por ejemplo, X???Y???Z, utilizando la Convenci?n intr?nseca, significa que se realiza una rotaci?n X, componiendo m?s tarde rotaciones intr?nsecas y y Z, pero mediante Convenio extr?nseca significa que despu?s de la rotaci?n X, se realizan rotaciones extr?nsecas y y Z. El significado es diferente en ambos casos.

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?Conversi?n entre convenciones extr?nsecas e intr?nsecas

?Para ?ngulos de Euler o Tait-Bryan, resulta muy sencillo convertir una intr?nseca (ejes rotativos) en una Convenci?n de extr?nseca (ejes est?tico) y viceversa: s?lo intercambiar el orden de las operaciones. Un (??, ??, ??) rotaci?n mediante Convenio intr?nseca de X-Y-Z es equivalente a un (??, ??, ??) rotaci?n mediante Convenio extr?nseca Z-Y-X; Esto es cierto para todas las combinaciones de eje Euler o Tait-Bryan.

?Derivaci?n geom?trica

?La forma m?s r?pida de obtener los ?ngulos de Euler de un fotograma determinado es escribir los tres vectores dado como columnas de una matriz y Comparar con la expresi?n de la matriz te?rica (v?ase el cuadro posterior de matrices). Por lo tanto se pueden calcular los tres ?ngulos de Euler.

?Sin embargo, el mismo resultado puede alcanzarse evitando ?lgebra de matriz, que es m?s geom?trica. Suponiendo un marco con vectores unitarios (X, Y, Z) como en el diagrama principal, puede verse que:

<math>?\qquad \cos (\beta) = ?Z_3 </math>

?y desde <math>?\sin^2 x = ?1 - \cos^2 x</math>

<math>?\qquad \sin (\beta) = ?\sqrt {?1 - Z_3 ^ 2} </math>

?como <math>?Z_2</math> ?es una doble proyecci?n de un vector unitario:

<math>?\qquad \cos (\alfa) \cdot \sin (\beta) = ?-Z_2</math>

<math>?\qquad \cos (\alfa) = ?-Z_2 / \sqrt {?1 - Z_3 ^ 2} </math>

?Hay una construcci?n similar para <math>?Y_3</math>?, proyectando primero sobre el plano definido por el eje z y la l?nea de nodos. Como el ?ngulo entre los planos es <math>?90-\beta</math> ?y <math>?cos(90-\beta) = ?pecado (\beta)</math>?, esto conduce a:

<math>?\qquad \sin (\beta) \cdot \cos (\gamma) = ?Y_3</math>

<math>?\qquad \cos (\gamma) = ?Y_3 / \sqrt {?1 - Z_3 ^ 2} </math>

?y por ?ltimo, utilizando la funci?n inversa de coseno arco co:

<math>?\qquad \alpha = ?\arccos (-Z_2 / \sqrt {?1 - Z_3 ^ 2}) </math>

<math>?\qquad \beta = ?\arccos (Z_3) </math>

<math>?\qquad \gamma = ?\arccos (Y_3 / \sqrt {?1 - Z_3 ^ 2}) </math>

?Es interesante observar que la funci?n inversa de coseno genera dos valores posibles para el argumento. En esta descripci?n geom?trica s?lo una de las soluciones es v?lida. Cuando los ?ngulos de Euler se definen como una secuencia de rotaciones de todas las soluciones pueden ser v?lidas, pero habr? s?lo uno dentro de los rangos de ?ngulos. Esto es porque la secuencia de rotaciones para llegar al marco de destino no es ?nica si los rangos no se ha definido anteriormente.^[3]

?Para fines de c?lculo, puede ser ?til representar los ?ngulos utilizando atan2(y,x):

<math>?\qquad \alpha = ?\operatorname{?ATAN2} ?(Z_1, - Z_2) </math>

<math>?\qquad \gamma = ?\operatorname{?ATAN2} ?(X_3, Y_3) </math>

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 ?Relaci?n con movimientos f?sicos

?: V?ase tambi?n rotaciones de Givens

??ngulos de Euler pueden considerarse como el resultado de tres rotaciones compuestas y estos convenios son nombrados de acuerdo con esta composici?n. Desde rotaciones intr?nsecas producen el mismo resultado como rotaciones extr?nsecas invertida, hay dos posibles nombres para cualquier Convenci?n est?tico. Por ejemplo el ZXY intr?nseca y la extr?nseca yxz tengan los mismos par?metros est?ticos.

??ngulos de Euler como composici?n de rotaciones intr?nsecas

?Comenzando con un conjunto inicial de ejes m?viles, decir XYZ superposici?n la referencia ejes xyz, una composici?n de tres rotaciones intr?nsecas (rotaciones s?lo sobre el marco de movimiento|?ejes de marco m?vil, asumiendo la transformaci?n activa y pasiva|?composici?n activa) puede utilizarse para llegar a cualquier fotograma de destino con un origen coincido con el de XYZ desde el marco de referencia. El valor de las rotaciones son los ?ngulos de Euler.

?La posici?n de los ejes m?viles puede alcanzarse mediante tres rotaciones con ?ngulos ??, ??, ?? de tres formas equivalentes a la definici?n anterior, como sigue:

?El sistema XYZ gira mientras la xyz es fijo. Comenzando con el sistema XYZ superpuestos el xyz de marco de referencia, las mismas rotaciones como antes pueden realizarse utilizando s?lo rotaciones alrededor de los ejes m?viles XYZ.

• ?Rotar el sistema XYZ sobre el eje z ??. El eje x se encuentra ahora en la l?nea de nodos.
• ?Girar el sistema XYZ nuevamente sobre el eje x ahora girado por ??. El eje z es ahora en su orientaci?n final y el eje x se mantiene en la l?nea de nodos.
• ?Rotar el tiempo sistema XYZ una tercera sobre el nuevo eje z ??.

?Cualquier convenio para ?ngulos de Euler adecuados es equivalente a esos tres rotaciones, con uno de los ejes que se repite (ZXZ por ejemplo). ?ngulos de Tait-Bryan tambi?n son equivalentes a tres rotaciones compuestos, pero en este caso, son todos tres rotaciones alrededor de los diferentes ejes (ZXY).

?Normalmente las convenciones son que ?ngulos de Euler # otras convenciones|?el nombre de acuerdo con esta equivalencia.

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??ngulos de Euler como composici?n de rotaciones extr?nsecas

?Tambi?n la composici?n de rotaciones extr?nsecas (rotaciones alrededor de los ejes de marco de referencia, asumiendo la transformaci?n activa y pasiva|?composici?n activa) puede utilizarse para llegar a cualquier fotograma de destino. Deja sistema xyz se fijo mientras gira el sistema XYZ. Iniciar con el sistema rotatorio de XYZ coincidiendo con el sistema fijo xyz.

• ?Rotar el sistema XYZ sobre el eje z ??. El eje x est? ahora en ?? de ?ngulo con respecto al eje x.
• ?Girar el sistema XYZ nuevamente sobre el eje x por ??. El eje z es ahora en ?? de ?ngulo con respecto al eje z.
• ?Rotar el tiempo sistema XYZ una tercera sobre el eje z ??. Los primeros y terceros ejes son id?nticos.

?Esto puede demostrarse ser equivalente a la afirmaci?n anterior:

?Perm?tanos llamada (e), (f), (g), (h), los fotogramas sucesivos dedujeron de la inicial marco de referencia (e) por las sucesivas rotaciones intr?nsecas descrito anteriormente. Llamamos u, v, w, t, los vectores sucesivos obtenidos con esa rotaci?n. Escribimos <math>?(x) _e</math> ?para la matriz de la columna que representa un vector x en el fotograma (e). Si es necesario a?adimos tambi?n un ?ndice inferior a cualquier matriz que queremos operar en un marco espec?fico. Llamamos <math>?(Z_\alpha)</math>, <math>?(X_\beta)</math>, <math>?(Z_\gamma)</math> ?las rotaciones sucesivas de nuestro ejemplo. Por lo tanto podemos escribir al describir las operaciones intr?nsecas:

<math>?(1) _e \qquad (Z_\alpha) = ?_F de \qquad (X_\beta) (Z_\alpha) = ?_G de \qquad (Z_\gamma) (X_\beta) = ?(Z_\gamma)</math>

?Al describir las rotaciones intr?nsecas en el marco de referencia (e) por supuesto debemos transformar las matrices utilizadas para representar las rotaciones. A continuaci?n, por las reglas del ?lgebra de matriz obtenemos:

<math>?(2) _e \qquad (t) = ?(Z_\gamma) _e (X_\beta) (Z_\alpha) _e _e (u) _e</math>

<math>?(3) _e \qquad (X_\beta) = ?(Z_\alpha) (X_\beta) _e _f (Z_\alpha) _e ^ t = ?(Z_\alpha) (X_\beta) (Z_\alpha) ^ t</math>

<math>?(4) _e \qquad (Z_\gamma) = ?(Z_\alpha) (X_\beta) _e _f (Z_\gamma) _g (X_\beta) _f ^ t (Z_\alpha) _e ^ t = ?(Z_\alpha) (X_\beta) (Z_\gamma) (X_\beta) ^ t (Z_\alpha) ^ t</math>

<math>?(5) _e \qquad (t) = [?(Z_\alpha)(X_\beta)(Z_\gamma)(X_\beta) ^ t (Z_\alpha) ^ t] [?(Z_\alpha)(X_\beta)(Z_\alpha) ^ t] ?(Z_\alpha) (u) _e = ?(Z_\alpha) (X_\beta) (Z_\gamma) (u) _e</math>

<math>?(6) \qquad (R) _e=?(Z_\gamma) _e (X_\beta) (Z_\alpha) _e _e = ?(Z_\alpha) (X_\beta) (Z_\gamma) </math>

?La relaci?n (5) puede entonces por supuesto interpretarse de manera extr?nseca como una sucesi?n de rotaciones alrededor de los ejes (e).

?Nuevamente, ?ngulos de Euler adecuados repetici?n que un eje y ?ngulos de Tait???Bryan no. Como antes, este tipo de composici?n es no conmutativa.

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?Rotaciones de Euler

?Rotaciones de Euler se definen como el movimiento obtenido cambiando uno de los ?ngulos de Euler, dejando las otras dos constantes. Rotaciones de Euler nunca se expresan en t?rminos del marco externo, o en t?rminos del marco cuerpo girado tres, pero en una mezcla. Constituyen una mezcla ejes del sistema de rotaci?n, donde el primer ?ngulo mueve la l?nea de nodos alrededor de la z eje externo, la segunda gira alrededor de la l?nea de nodos y la tercera es una rotaci?n intr?nseca alrededor de un eje fijo en el cuerpo que se mueve.

?Estas rotaciones se denominan rotaci?n, precesi?n y nutaci?n|?rotaci?n intr?nseca. Mientras est?n rotaciones cuando se aplican sobre los fotogramas individuales, s?lo precesi?n es v?lido como un operador de rotaci?n y s?lo precesi?n puede expresarse en general como una matriz en la base del espacio.

?Suspensi?n card?n analog?a

?Si suponemos un conjunto de marcos, capaces de mover cada uno con respecto a la anterior acuerdo con s?lo un ?ngulo, como una suspensi?n card?n, all? existir? un fotograma fijo externo, un fotograma final y dos marcos en el medio, que se denominan "fotogramas intermedios". Los dos en el trabajo medio como dos anillos de Suspensi?n card?n que permiten el ?ltimo fotograma alcanzar cualquier orientaci?n en el espacio.

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?Fotogramas intermedios

?Los anillos de Suspensi?n card?n indican algunos fotogramas intermedios. Pueden definir est?ticamente demasiado. Tomando algunos vectores i, j y k sobre los ejes x, y y z y vectores I, J, K sobre X, Y y z y un vector de n sobre la l?nea de nodos, algunos fotogramas intermedios puede definirse mediante el vector cruzan producto, como la siguiente:

• ?origen: [?i, j, k] ?(donde k = ?me ?? j)
• ?primera: [?N, k ?? N, k]
• ?segundo: [??? K N, N, K]
• ?final: [?I, J, K]

?Estos fotogramas intermedios son equivalentes a los de la suspensi?n card?n. Son tales que se diferencian de la anterior en solo una sola rotaci?n elemental. Esto demuestra que:

• ?Puede llegar a cualquier fotograma de destino desde el marco de referencia s?lo componer tres rotaciones.
• ?Los valores de estas tres rotaciones son exactamente los ?ngulos de Euler de marco de destino.

?Relaci?n con otras representaciones

??ngulos de Euler son una forma de representar orientaciones. Hay otros, y es posible cambiar desde y hacia otras convenciones.

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?Orientaci?n de matriz

?Utilizando la equivalencia entre los ?ngulos de Euler y composici?n de rotaci?n, es posible cambiar desde y hacia la Convenci?n de la matriz.

?Ejes fijos (Mundial) y vectores de columna, con composici?n intr?nseca (composici?n de rotaciones sobre los ejes del cuerpo) de transformaci?n activa y pasiva|?se supusieron rotaciones activas y el zurdo para el signo positivo de los ?ngulos. Esto significa por ejemplo que una Convenci?n de llamada (YXZ) es el resultado de realizar primero una rotaci?n z intr?nseca, seguido por x y y rotaciones, en los ejes de movimiento (Nota: para composiciones de rotaciones intr?nseca, el orden de multiplicaci?n de matrices es lo contrario del orden en que son aplicada a un vector). Su matriz es el producto de Rot (Y, ??₁?) Rot(X,??₂?) Rot(Z,??₃?) como este:

?::::<math>?\begin{?Alinear} ?\\ ?\begin{?bmatrix} ?\cos \theta_1 & 0 & \sin \theta_1 \\ ?0 & 1 & 0 \\ ?-\sin \theta_1 & 0 & \cos \theta_1 ?\end{?bmatrix} ?\end{?Alinear} </math>.<math>?\begin{?Alinear} ?\\ ?\begin{?bmatrix} ?1 & 0 & 0 \\ ?0 & \cos \theta_2 & - \sin \theta_2 \\ ?0 & \sin \theta_2 & \cos \theta_2 ?\end{?bmatrix} ?\end{?Alinear} </math>.<math>?\begin{?Alinear} ?\\ ?\begin{?bmatrix} ?\cos \theta_3 & - \sin \theta_3 & 0 \\ ?\sin \theta_3 & \cos \theta_3 & 0 \\ ?0 & 0 & 1 ?\end{?bmatrix}

?\end{?Alinear} </math>

?Sub-?ndices consulte el orden en que se aplican los ?ngulos. Notaci?n trigonom?trica se ha simplificado. Por ejemplo, c1 significa co (??₁?) y s2 significa pecado (??₂?). Como hemos asumido composiciones intr?nsecas y activas, ??₁ ?es el ?ngulo externo de la definici?n est?tica (?ngulo entre eje fijo x y l?nea de nodos) y ??₃ ?el ?ngulo interno (desde la l?nea de nodos al eje de rotaci?n X). Las tablas siguientes pueden utilizarse ambas formas, para obtener una matriz de orientaci?n de Euler ?ngulos y obtener ?ngulos de Euler de la matriz. Aqu? se muestran las combinaciones posibles de rotaciones equivalentes a ?ngulos de Euler. Una tabla para el zurdo (utilizado por ejemplo en infograf?a) Convenci?n para el signo positivo y otro para la Convenci?n del diestro (utilizados por ejemplo en din?mica).

?Convenci?n de signo positivo zurdo

?!XZX ?!XYX ?!YXY ?!YZY ?!ZYZ ?!ZXZ

<math>?\begin{?bmatrix} ?c_2 & - c_3 s_2 & s_2 s_3 \\ ?c_1 s_2 & c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 & - c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 \\ ?s_1 s_2 & c_1 s_3 + c_2 c_3 s_1 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 ?\end{?bmatrix}</math> ?!XYZ	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_2 c_3 & - s_2 & c_2 s_3 \\ ?s_3 de s_1 + c_1 c_3 s_2 & c_1 c_2 & c_1 s_2 s_3 - c_3 s_1 \\ ?c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3 & c_2 s_1 & c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3 ?\end{?bmatrix}</math>
<math>?\begin{?bmatrix} ?s_2 s_3 & c_3 c_2 & s_2 \\ ?s_1 s_2 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 & - c_1 s_3 - c_2 c_3 s_1 \\ ?-c_1 s_2 & c_3 s_1 + c_1 c_2 s_3 & c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 ?\end{?bmatrix}</math> ?!XYZ	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_2 c_3 & - c_2 s_3 & s_2 \\ ?c_1 s_3 + c_3 s_1 s_2 & c_1 c_3 - s_1 s_2 s_3 & - c_2 s_1 \\ ?s_1 s_3 - c_1 c_3 s_2 & c_3 s_1 + c_1 s_2 s_3 & c_1 c_2 ?\end{?bmatrix}</math>
<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 & s_1 s_2 & c_1 s_3 + c_2 c_3 s_1 \\ ?s_2 s_3 & c_2 & - c_3 s_2 \\ ?-c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 & c_1 s_2 & c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 ?\end{?bmatrix}</math> ?!YXZ	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3 & c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3 & c_2 s_1 \\ ?c_2 s_3 & c_2 c_3 & - s_2 \\ ?c_1 s_2 s_3 - c_3 s_1 & s_1 s_3 + c_1 c_3 s_2 & c_1 c_2 ?\end{?bmatrix}</math>
<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 & - c_1 s_2 & c_3 s_1 + c_1 c_2 s_3 \\ ?c_3 s_2 & s_3 c_2 & s_2 \\ ?-c_1 s_3 - c_2 c_3 s_1 & s_1 s_2 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 ?\end{?bmatrix}</math> ?!YZX	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_2 & s_1 s_3 - c_1 c_3 s_2 & c_3 s_1 + c_1 s_2 s_3 \\ ?s_3 s_2 & c_2 c_3 & - c_2 \\ ?-c_2 s_1 & c_1 s_3 + c_3 s_1 s_2 & c_1 c_3 - s_1 s_2 s_3 ?\end{?bmatrix}</math>
<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 & - c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 & c_1 s_2 \\ ?c_1 s_3 + c_2 c_3 s_1 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 & s_1 s_2 \\ ?-c_3 s_2 & s_2 s_3 & c_2 ?\end{?bmatrix}</math> ?!ZYX	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_2 & c_1 s_2 s_3 - c_3 s_1 & s_1 s_3 + c_1 c_3 s_2 \\ ?c_2 s_1 & c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3 & c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3 \\ ?-c_3 s_3 & c_2 s_2 & c_2 ?\end{?bmatrix}</math>
<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 & - c_1 s_3 - c_2 c_3 s_1 & s_1 s_2 \\ ?c_3 s_1 + c_1 c_2 s_3 & c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 & - c_1 s_2 \\ ?s_2 s_3 & c_3 s_2 & c_2 ?\end{?bmatrix}</math> ?!ZXY	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_3 - s_1 s_2 s_3 & - c_2 s_1 & c_1 s_3 + c_3 s_1 s_2 \\ ?c_3 s_1 + c_1 s_2 s_3 & c_1 c_2 & s_1 s_3 - c_1 c_3 s_2 \\ ?-c_2 s_3 & s_2 & c_2 c_3 ?\end{?bmatrix}</math>

?Convenci?n de signo positivo diestro

?!XZX ?!XYX ?!YXY ?!YZY ?!ZYZ ?!ZXZ

<math>?\begin{?bmatrix} ?c_2 & c_3 s_2 & s_2 s_3 \\ ?-c_1 s_2 & c_1 c_3 c_2 - s_1 s_3 & c_3 s_1 + c_1 c_2 s_3 \\ ?s_1 s_2 & - c_1 s_3 - c_2 c_3 s_1 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 ?\end{?bmatrix}</math> ?!XYZ	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_2 c_3 & s_2 & - c_2 s_3 \\ ?s_1 s_3 - c_1 c_3 s_2 & c_1 c_2 & c_3 s_1 + c_1 s_2 s_3 \\ ?c_1 s_3 + c_3 s_1 s_2 & - c_2 s_1 & c_1 c_3 - s_1 s_2 s_3 ?\end{?bmatrix}</math>
<math>?\begin{?bmatrix} ?c_2 & s_2 s_2 s_3 & - c_3 \\ ?s_1 s_2 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 & c_1 s_3 + c_2 c_3 s_1 \\ ?c_1 s_2 & - c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 & c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 ?\end{?bmatrix}</math> ?!XYZ	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_2 c_3 & c_2 s_3 & - s_2 \\ ?c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3 & c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3 & c_2 s_1 \\ ?s_3 de s_1 + c_1 c_3 s_2 & c_1 s_2 s_3 - c_3 s_1 & c_1 c_2 ?\end{?bmatrix}</math>
<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 & s_1 s_2 & - c_1 s_3 - c_2 c_3 s_1 \\ ?s_2 s_3 & c_2 & c_3 s_2 \\ ?c_3 s_1 + c_1 c_2 s_3 & - c_1 s_2 & c_1 c_3 c_2 - s_1 s_3 ?\end{?bmatrix}</math> ?!YXZ	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_3 - s_1 s_2 s_3 & c_1 s_3 + c_3 s_1 s_2 & - c_2 s_1 \\ ?-c_2 s_3 & c_2 c_3 & s_2 \\ ?c_3 s_1 + c_1 s_2 s_3 & s_1 s_3 - c_1 c_3 s_2 & c_1 c_2 ?\end{?bmatrix}</math>
<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 & c_1 s_2 & - c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 \\ ?-c_3 s_2 & s_3 c_2 & s_2 \\ ?c_1 s_3 + c_2 c_3 s_1 & s_1 s_2 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 ?\end{?bmatrix}</math> ?!YZX	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_2 & s_1 s_3 + c_1 c_3 s_2 & c_1 s_2 s_3 - c_3 s_1 \\ ?-s_3 c_3 & c_2 s_2 & c_2 \\ ?c_2 s_1 & c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3 & c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3 ?\end{?bmatrix}</math>
<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 & c_3 s_1 + c_1 c_2 s_3 & - c_1 s_2 \\ ?-c_1 s_3 - c_2 c_3 s_1 & c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 & s_1 s_2 \\ ?c_3 s_2 & s_2 s_3 & c_2 ?\end{?bmatrix}</math> ?!ZYX	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_2 & c_3 s_1 + c_1 s_2 s_3 & s_1 s_3 - c_1 c_3 s_2 \\ ?-c_2 s_1 & c_1 c_3 - s_1 s_2 s_3 s_3 & c_1 + c_3 s_1 s_2 \\ ?c_3 s_3 & c_2 s_2 & - c_2 ?\end{?bmatrix}</math>
<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_3 - c_2 s_1 s_3 & c_1 s_3 + c_2 c_3 s_1 & s_1 s_2 \\ ?-c_3 s_1 - c_1 c_2 s_3 & c_1 c_2 c_3 - s_1 s_3 & c_1 s_2 \\ ?s_2 s_3 & - c_3 s_2 & c_2 ?\end{?bmatrix}</math> ?!ZXY	<math>?\begin{?bmatrix} ?c_1 c_3 + s_1 s_2 s_3 & c_2 s_1 & c_3 s_1 s_2 - c_1 s_3 \\ ?c_1 s_2 s_3 - c_3 s_1 & c_1 c_2 & s_1 s_3 + c_1 c_3 s_2 \\ ?c_2 s_3 & - s_2 & c_2 c_3 ?\end{?bmatrix}</math>

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?Cuaterniones

?cuaterniones|?Cuaterniones unidad, tambi?n conocido como par?metros de Euler???Rodrigues, proporcionan cuaterniones y rotaci?n espacial|?otro mecanismo para representar rotaciones 3D. Esto es equivalente a la descripci?n del grupo especial unitario.

?Expresando rotaciones en 3D como cuaterniones unidad en lugar de matrices tiene algunas ventajas:

•  ?Concatenaci?n de rotaciones es computacionalmente m?s r?pido y num?ricamente m?s estable.
•  ?Extraer el ?ngulo y el eje de rotaci?n es m?s simple.
•  ?La interpolaci?n es m?s sencilla. V?ase, por ejemplo, slerp.

??lgebra geom?trica

?Otra representaci?n proviene de la algebra(GA) geom?trica. GA es una abstracci?n de nivel superior, en el que los cuaterniones son un sub?lgebra incluso. La herramienta principal de GA es el rotor <math> ?\bold\R=[?\cos (\theta/2)-yo u \sin(\theta/2)] </math> ?donde <math>?\bold\theta =</math>??ngulo de rotaci?n, <math>?\bold(u) =</math>?eje de rotaci?n (vector unitario) y <math>?\bold(I)=</math>?pseudoscalar (trivector en <math>?\mathbb{R}?^ 3).</math>

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 ?Propiedades

?Los ?ngulos de Euler forman un gr?fico (topolog?a)|?gr?fico sobre todo de SO(3), el grupo especial ortogonal de rotaciones en el espacio 3D. El gr?fico es suave excepto por una singularidad del estilo de coordenadas polares a lo largo de ??=?0. Ver gr?ficos sobre SO(3) para un tratamiento m?s completo.

?El espacio de rotaciones se denomina en general "los cuaterniones y rotaci?n espacial #Quaternion rotaci?n operaciones|?Hypersphere de rotaciones", aunque se trata de un equ?voco: el grupo de Spin|?Spin(3) es la incrustaci?n isom?trica|?isom?trica a la hypersphere s³?, sino el espacio de rotaci?n SO(3) isom?trico al espacio proyectivo real de RP³ ?que es un espacio de segundo nivel cociente de la hypersphere. Esta ambig?edad de 2-1 es el origen matem?tico de Spin (f?sica)|?giro en f?sica.

?Una descomposici?n de tres ?ngulo similar aplica a SU(2), el grupo especial unitario de rotaciones en el espacio 2D complejo, con la diferencia rangos ?? entre 0 y 2??. Tambi?n se denominan ?ngulos de Euler.

?La medida de Haar para ?ngulos de Euler tiene la forma simple pecado (??) d??d??d??, usualmente normalizado por un factor de 1/8????.

?Por ejemplo, para generar orientaciones uniformemente aleatorios, deja ?? y ?? ser uniforme de 0 a 2??, sea uniforme de ?1 a 1 y deje de ?? z = ?ARccOS(z).

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?Dimensiones superiores

?Es posible definir par?metros an?logos a los ?ngulos de Euler en dimensiones superiores a tres.

?El n?mero de grados de libertad de una matriz de rotaci?n es siempre inferior a la dimensi?n de la matriz al cuadrado. Es decir, los elementos de una matriz de rotaci?n no son todos completamente independientes. Por ejemplo, la matriz de rotaci?n en dimensi?n 2 tiene s?lo un grado de libertad, ya que cuatro de sus elementos depende de un ?nico ?ngulo de rotaci?n. Una matriz de rotaci?n en dimensi?n 3 (que tiene nueve elementos) tiene tres grados de libertad, correspondiente a cada rotaci?n independiente, por ejemplo, sus tres ?ngulos de Euler o un cuaterni?n (unidad) uno de magnitud.

?En la matriz de rotaci?n rotaci?n (matem?ticas) SO(4) # en cuatro dimensiones|?se define por dos cuaterniones y es por tanto 6 param?tricas (tres grados de libertad para cada cuaterni?n). Las matrices de rotaci?n de 4 x 4 por lo tanto tienen componentes independientes 6 de 16.

?Cualquier conjunto de 6 par?metros que definen la matriz de rotaci?n podr?a considerarse una extensi?n de ?ngulos de Euler para dimensi?n 4.

?En general, el n?mero de ?ngulos de euler en dimensi?n d es cuadr?tico en D; desde cualquier una rotaci?n consiste en elegir dos dimensiones para rotar entre, es el n?mero total de rotaciones disponibles en dimensi?n d <math>N_{?Rot}=?\binom{D}{2}=?D(D-1)/2</math>?, que d=?2,3,4 rendimientos <math>N_{?Rot}=?1,3,6</math>.

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 ?Aplicaciones

?Veh?culos y marcos m?viles

?Su principal ventaja sobre otras descripciones de orientaci?n es que son directamente medibles de un balanc?n montado en un veh?culo. Como gir?scopos mantienen su constante del eje de rotaci?n, ?ngulos medidos en un marco de gir?scopo equivalen a ?ngulos medidos en el marco del laboratorio. Por lo tanto, giroscopios sirven para conocer la orientaci?n real del movimiento de naves espaciales y ?ngulos de Euler son directamente medibles. ?ngulo de rotaci?n intr?nseca, no se puede leer desde una sola Suspensi?n card?n, por lo que tiene que haber m?s de una suspensi?n card?n en una nave espacial. Normalmente hay al menos tres para la redundancia. Tambi?n es una relaci?n con el problema de bloqueo de Suspensi?n card?n conocidos de ingenier?a mec?nica ^[4]?.

?La aplicaci?n m?s popular es describir las actitudes de los aviones, normalmente mediante un Convenio de Tait???Bryan para que cero grados de elevaci?n representa la actitud horizontal. Tait???Bryan ?ngulos representan la orientaci?n del avi?n respeto un sistema de eje de referencia (marco mundial) con tres ?ngulos que, en el contexto de una aeronave, normalmente se denominan partida, elevaci?n y Banco. Cuando se trabaja con veh?culos, ejes diferentes convenciones son posibles.

?Cuando estudiaba en general cuerpos r?gidos, uno llama las coordenadas de espacio del sistema xyz, y coordina el cuerpo del sistema XYZ. Las coordenadas de espacio son tratadas como inamovible, mientras que las coordenadas del cuerpo son consideradas incrustados en el cuerpo del movimiento. Coordenadas de c?lculos que implican aceleraci?n, aceleraci?n angular, velocidad angular, momento angular y energ?a cin?tica son a menudo m?s f?ciles en cuerpo, porque entonces el tensor de inercia no cambian en el tiempo. Si uno tambi?n diagonalizes el tensor de momento de inercia bodys r?gido (con nueve componentes, seis de los cuales son independientes), entonces uno tiene un conjunto de coordenadas (llamado los ejes principales) en el que el tensor de inercia tiene s?lo tres componentes.

?La velocidad angular de un cuerpo r?gido tiene una velocidad Angular # Components_from_Euler_angles|?formulario simple utilizando ?ngulos de Euler, en el marco de movimiento. Tambi?n las ecuaciones Eulers (din?mica del cuerpo r?gido)|?Eulers r?gido ecuaciones son m?s simples porque el tensor de inercia es constante en dicho fotograma.

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?Otros

??ngulos de Euler, normalmente en la Convenci?n de Tait???Bryan, tambi?n se utilizan en robot Industrial|?Rob?tica para hablar sobre los grados de libertad de un brazo rob?tico|?mu?eca. Tambi?n se utilizan en el control electr?nico de estabilidad, de manera similar.

?Sistemas de control de fuego de ca??n requieren correcciones a ?ngulos de arma-orden (rodamiento y elevaci?n) para compensar para cubierta de inclinaci?n (cabeceo y alabeo). En los sistemas tradicionales, un estabilizador giroscopio con un eje de giro vertical corrige la inclinaci?n de la cubierta y estabiliza la antena de lugares de inter?s y radares ?ptica. Sin embargo, pistola barricas de punto en una direcci?n distinta de la l?nea de visi?n en el destino, para anticipar el movimiento de destino y la ca?da del proyectil debido a la gravedad, entre otros factores. Arma montajes rollo y de tono con el plano de cubierta, pero tambi?n requieren estabilizaci?n. Pistola pedidos incluyen ?ngulos que se calcula a partir de los datos de gir?scopo vertical, y esos c?lculos involucran ?ngulos de Euler.

??ngulos de Euler tambi?n se utilizan ampliamente en la mec?nica cu?ntica del momento angular. En la mec?nica cu?ntica, descripciones expl?citas de las representaciones de SO(3) son muy importantes para los c?lculos, y casi todo el trabajo se ha hecho uso de ?ngulos de Euler. En los inicios de la mec?nica cu?ntica, cuando los f?sicos y qu?micos tuvieron una reacci?n negativa bruscamente hacia m?todos te?rico abstracto grupo (llamado el Gruppenpest), depender de ?ngulos de Euler tambi?n fue esencial para el trabajo te?rico b?sico.

?En ciencia de materiales, textura cristalogr?fica (cristalino)|?textura (o orientaci?n preferida) puede describirse mediante ?ngulos de Euler. En el an?lisis de textura, los ?ngulos de Euler proporcionan la representaci?n matem?tica necesaria de la orientaci?n de granos individuales dentro de un material policristalino, permitiendo la descripci?n cuantitativa del material macrosc?pica. ^[5] ?La definici?n m?s com?n de los ?ngulos es debido a Bunge y corresponde a la Convenci?n ZXZ. Es importante se?alar que la aplicaci?n generalmente implica transformaciones de eje de cantidades tensor, es decir pasivas rotaciones. Por lo tanto la matriz que corresponde a los ?ngulos de Bunge Euler es la transposici?n de la se muestra en la tabla anterior. ^[6]

?Muchos dispositivos m?viles contienen aceler?metros que pueden determinar estos dispositivos ?ngulos de Euler con respecto a la atracci?n gravitacional de tierras. Se utilizan en aplicaciones como juegos, simulaciones de nivel de burbuja y caleidosc?picos.^{[citation needed]}

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 ?V?ase tambi?n

•  ?Formalismos de rotaci?n en tres dimensiones
•  ?Teorema de rotaci?n de Eulers
•  ?Cuaterniones
•  ??ngulo de eje
•  ??ngulo de rotaciones ortogonales simult?neas
•  ?Conversi?n entre cuaterniones y ?ngulos de Euler
•  ?Cuaterniones y rotaci?n espacial
•  ?Sistema de coordenadas esf?rica
•  ?Transformaci?n de c?mara

?Notas

?Referencias

• Biedenharn, L. C.; Louck, J. D. (1981), [Error con la expresión: Falta un operador para > Angular Momentum in Quantum Physics], Reading, MA: Addison???Wesley, ISBN 978-0-201-13507-7 
• Goldstein, Herbert (1980), [Error con la expresión: Falta un operador para > Classical Mechanics] (2nd ed.), Reading, MA: Addison???Wesley, ISBN 978-0-201-02918-5 
• Gray, Andrew (1918), [Error con la expresión: Falta un operador para > A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion], London: Macmillan Publishers (published 2007), ISBN 978-1-4212-5592-7 
• Rose, M. E. (1957), [Error con la expresión: Falta un operador para > Elementary Theory of Angular Momentum], New York, NY: John Wiley & Sons (published 1995), ISBN 978-0-486-68480-2 
• Symon, Keith (1971), [Error con la expresión: Falta un operador para > Mechanics], Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-07392-8 
• Landau, L.D.; Lifshitz, E. M. (1996), [Error con la expresión: Falta un operador para > Mechanics] (3rd ed.), Oxford: Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2896-9 

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?Enlaces externos

Wikimedia Commons has media related to: Euler angles

• Weisstein, Eric W., "Euler Angles" from MathWorld.
•  ?Applet de Java para la simulaci?n de ?ngulos de Euler, disponibles en http://www.parallemic.org/Java/EulerAngles.html.
•  ?Una colecci?n de ??? de http://sourceforge.net/projects/orilib de rutinas para la rotaci?n y manipulaci?n de orientaci?n, incluidas herramientas especiales para orientaciones de cristal.
• (Italian) A generalization of Euler Angles to n-dimensional real spacesar:?????????? ??????????

ca:Angles dEuler cs:Eulerovy ??hly de:Eulersche Winkel es:??ngulos de Euler fr:Angles dEuler ko:????????? ?????? it:Angoli di Eulero he:???????????? ?????????? hu:Euler-sz??gek nl:Hoeken van Euler ja:??????????????? no:Tait-Bryan rotasjoner pl:K??ty Eulera pt:??ngulos de Euler ru:???????? ???????????? sl:Eulerjevi koti uk:???????????????? ???????? zh:?????????